Pendant des siècles, les mathématiciens ont cherché à comprendre et à modéliser le mouvement des fluides. Les équations qui décrivent comment les ondulations plissent la surface d’un étang ont également aidé les chercheurs à prévoir le temps, à concevoir de meilleurs avions et à caractériser la façon dont le sang circule dans le système circulatoire. Ces équations sont d’une simplicité trompeuse lorsqu’elles sont écrites dans le bon langage mathématique. Toutefois, leurs solutions sont si complexes qu’il peut s’avérer extrêmement difficile de donner un sens aux questions les plus élémentaires les concernant.
La plus ancienne et la plus importante de ces équations, formulée par Leonhard Euler il y a plus de 250 ans, décrit l’écoulement d’un fluide idéal et incompressible : un fluide sans viscosité, ni friction interne, et qui ne peut pas être forcé dans un plus petit volume. “Presque toutes les équations non linéaires des fluides sont en quelque sorte dérivées des équations d’Euler”, explique Tarek Elgindi, mathématicien à l’université Duke. “Ce sont les premières, pourrait-on dire”.
Pourtant, on ignore encore beaucoup de choses sur les équations d’Euler – notamment si elles constituent toujours un modèle précis de l’écoulement idéal des fluides. L’un des problèmes centraux de la dynamique des fluides est de savoir si les équations échouent parfois, en produisant des valeurs absurdes qui les rendent incapables de prédire les états futurs d’un fluide.
Les mathématiciens soupçonnent depuis longtemps l’existence de conditions initiales qui provoquent la défaillance des équations. Mais ils n’ont pas été capables de le prouver.
Dans une préimpression publiée en ligne en octobre, deux mathématiciens ont montré qu’une version particulière des équations d’Euler échoue effectivement parfois. Cette preuve marque une avancée majeure et, bien qu’elle ne résolve pas complètement le problème pour la version plus générale des équations, elle permet d’espérer qu’une telle solution est enfin à portée de main. “C’est un résultat étonnant”, a déclaré Tristan Buckmaster, un mathématicien de l’université du Maryland qui n’a pas participé aux travaux. “Il n’y a aucun résultat de ce type dans la littérature”.
Il y a juste un hic.
La preuve de 177 pages – le résultat d’un programme de recherche de dix ans – fait largement appel aux ordinateurs. Il est donc difficile pour les autres mathématiciens de la vérifier. (En fait, ils sont encore en train de le faire, bien que de nombreux experts pensent que le nouveau travail s’avérera correct). Cela les oblige également à répondre à des questions philosophiques sur ce qu’est une “preuve” et sur ce que cela signifiera si le seul moyen viable de résoudre des questions aussi importantes à l’avenir est l’aide des ordinateurs.
Apercevoir la bête
En principe, si l’on connaît l’emplacement et la vitesse de chaque particule dans un fluide, les équations d’Euler devraient pouvoir prédire l’évolution du fluide à tout moment. Mais les mathématiciens veulent savoir si c’est réellement le cas. Il se peut que dans certaines situations, les équations se déroulent comme prévu, produisant des valeurs précises pour l’état du fluide à un moment donné, mais que l’une de ces valeurs s’envole soudainement vers l’infini. À ce moment-là, on dit que les équations d’Euler donnent lieu à une “singularité” – ou, plus dramatiquement, qu’elles “explosent”.
Lorsqu’elles atteignent cette singularité, les équations ne sont plus en mesure de calculer l’écoulement du fluide. Mais “il y a quelques années, ce que les gens étaient capables de faire était très, très loin de ce que l’on peut attendre d’eux”. [proving blowup]a déclaré Charlie Fefferman, un mathématicien de l’université de Princeton.
La situation se complique encore si vous essayez de modéliser un fluide qui présente une viscosité (comme c’est le cas de presque tous les fluides du monde réel). Un prix du millénaire d’un million de dollars, décerné par le Clay Mathematics Institute, attend qu’on prouve que les équations de Navier-Stokes, une généralisation des équations d’Euler qui tient compte de la viscosité, ne présentent pas des défaillances similaires.
