La magie des mathématiques se reflète particulièrement dans les carrés magiques. Récemment, la physicienne quantique Gemma De las Cuevas et les mathématiciens Tim Netzer et Tom Drescher ont introduit la notion de carré magique quantique et ont pour la première fois étudié en détail les propriétés de cette version quantique des carrés magiques.
Les carrés magiques appartiennent depuis longtemps à l’imagination de l’humanité. Le plus ancien carré magique connu vient de Chine et a plus de 2000 ans. L’un des carrés magiques les plus célèbres se trouve dans la gravure sur cuivre d’Albrecht Dürer Melencolia I. Un autre se trouve sur la façade de la Sagrada Família à Barcelone. Un carré magique est un carré de nombres tel que chaque colonne et chaque ligne totalisent le même nombre. Par exemple, dans le carré magique de la Sagrada Família, chaque ligne et chaque colonne totalisent 33.
Image : Détail de Melencolia I par Albrecht Dürer. Crédit : Bibliothèque nationale d’Espagne CC BY-NC-SA 4.0
Si le carré magique peut contenir des nombres réels et que chaque ligne et colonne est égale à 1, alors on l’appelle une matrice doublement stochastique. Un exemple particulier serait une matrice qui a des 0 partout sauf un 1 dans chaque colonne et chaque ligne. C’est ce qu’on appelle une matrice de permutation. Un théorème célèbre dit que chaque matrice doublement stochastique peut être obtenue comme une combinaison convexe de matrices de permutation. Autrement dit, cela signifie que les matrices de permutation « contiennent tous les secrets » des matrices doublement stochastiques – plus précisément, que ces dernières peuvent être pleinement caractérisées en fonction des premières.
Dans un nouvel article du Journal of Mathematical Physics, Tim Netzer et Tom Drescher du Département de mathématiques et Gemma De las Cuevas du Département de physique théorique ont introduit la notion de carré magique quantique, qui est un carré magique mais au lieu de nombres, on met dans des matrices. Il s’agit d’une généralisation non commutative, et donc quantique, d’un carré magique. Les auteurs montrent que les carrés magiques quantiques ne peuvent pas être aussi facilement caractérisés que leurs cousins « classiques ». Plus précisément, les carrés magiques quantiques ne sont pas des combinaisons convexes de matrices de permutation quantique. « Ils sont plus riches et plus compliqués à comprendre », explique Tom Drescher. “C’est le thème général lorsque des généralisations au cas non commutatif sont étudiées.”
« Le travail est à l’intersection de la géométrie algébrique et de l’information quantique et met en valeur les avantages de la collaboration interdisciplinaire », déclarent Gemma De las Cuevas et Tim Netzer.
Référence : « Quantum magic squares: Dilations and their limitations featuring » par Gemma De las Cuevas, Tom Drescher et Tim Netzer, 16 novembre 2020, Journal de physique mathématique.
DOI : 10.1063/5.0022344
