Un adolescent a résolu l’énigme de la ressemblance d’un nombre premier.

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Les mathématiciens voulaient mieux comprendre ces nombres qui ressemblent tant aux objets les plus fondamentaux de la théorie des nombres, les nombres premiers. Il s’est avéré qu’en 1899 – une décennie avant le résultat de Carmichael – un autre mathématicien, Alwin Korselt, avait proposé une définition équivalente. Il n’avait simplement pas su s’il y avait des nombres qui correspondaient à cette définition.

Selon le critère de Korselt, un nombre N est un nombre de Carmichael si et seulement s’il satisfait à trois propriétés. Premièrement, il doit avoir plus d’un facteur premier. Deuxièmement, aucun facteur premier ne peut se répéter. Et troisièmement, pour chaque facteur premier p qui divise N, p – 1 divise aussi N – 1. Considérons à nouveau le nombre 561. Il est égal à 3 × 11 × 17, il satisfait donc clairement aux deux premières propriétés de la liste de Korselt. Pour démontrer la dernière propriété, soustrayez 1 à chaque facteur premier pour obtenir 2, 10 et 16. En outre, soustrayez 1 à 561. Les trois plus petits nombres sont des diviseurs de 560. Le nombre 561 est donc un nombre de Carmichael.

Bien que les mathématiciens soupçonnent qu’il existe une infinité de nombres de Carmichael, ils sont relativement peu nombreux par rapport aux nombres premiers, ce qui les rend difficiles à cerner. Puis, en 1994, Red Alford, Andrew Granville et Carl Pomerance ont publié un article révolutionnaire dans lequel ils ont finalement prouvé qu’il existe effectivement une infinité de ces pseudoprimes.

Malheureusement, les techniques qu’ils ont développées ne leur ont pas permis de dire à quoi ressemblaient ces nombres de Carmichael. Apparaissaient-ils en grappes le long de la ligne des nombres, avec de grands écarts entre eux ? Ou pouvait-on toujours trouver un nombre de Carmichael dans un intervalle court ? “On pourrait penser que si l’on peut prouver qu’il y en a une infinité”, a dit Granville, “on devrait sûrement être capable de prouver qu’il n’y a pas de grands écarts entre eux, qu’ils devraient être relativement bien espacés”.

En particulier, lui et ses coauteurs espéraient prouver un énoncé qui reflétait cette idée, à savoir qu’étant donné un nombre suffisamment grand d’objets, il n’y a pas d’écart entre eux. Xil y aura toujours un nombre de Carmichael entre X et 2X. “C’est une autre façon d’exprimer à quel point ils sont omniprésents”, a déclaré Jon Grantham, un mathématicien de l’Institute for Defense Analyses qui a effectué des travaux connexes.

Mais pendant des décennies, personne n’a pu le prouver. Les techniques développées par Alford, Granville et Pomerance “nous ont permis de montrer qu’il y aurait de nombreux nombres de Carmichael”, a déclaré Pomerance, “mais ne nous ont pas vraiment permis d’avoir beaucoup de contrôle sur leur emplacement”.

Puis, en novembre 2021, Granville a ouvert un courriel de Larsen, alors âgé de 17 ans et en dernière année de lycée. Un papier était joint – et à la surprise de Granville, il semblait correct. “Ce n’était pas la lecture la plus facile qui soit”, dit-il. “Mais quand je l’ai lu, il était tout à fait clair qu’il ne déconnait pas. Il avait des idées brillantes.”

Pomerance, qui a lu une version ultérieure de l’ouvrage, est d’accord. “Sa preuve est vraiment très avancée”, a-t-il dit. “Ce serait un article que tout mathématicien serait vraiment fier d’avoir écrit. Et voilà qu’un lycéen l’écrit.”

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