Les mathématiciens du MIT résolvent un vieux problème de géométrie sur des lignes équiangulaires

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Les mathématiciens du MIT résolvent un vieux problème de géométrie sur des lignes équiangulaires
Icosaèdre régulier

Dans un icosaèdre régulier (violet), six diagonales intérieures principales (lignes rouges) forment des angles égaux les unes avec les autres. Crédit : Image : Zilin Jiang

Combien de lignes peuvent être séparées deux à deux par le même angle dans des dimensions élevées ? La percée de la géométrie donne de nouvelles perspectives sur la théorie des graphes spectrales.

Les lignes équiangulaires sont des lignes dans l’espace qui passent par un seul point et dont les angles par paires sont tous égaux. Représentez en 2D les trois diagonales d’un hexagone régulier, et en 3D, les six lignes reliant les sommets opposés d’un icosaèdre régulier (voir la figure ci-dessus). Les mathématiciens ne sont cependant pas limités à trois dimensions.

« Dans les dimensions élevées, les choses deviennent vraiment intéressantes et les possibilités peuvent sembler illimitées », déclare Yufei Zhao, professeur adjoint de mathématiques.

Mais ils ne sont pas illimités, selon Zhao et son équipe de AVEC mathématiciens, qui ont cherché à résoudre ce problème sur la géométrie des lignes dans l’espace de grande dimension. C’est un problème sur lequel les chercheurs s’interrogent depuis au moins 70 ans.

Leur percée détermine le nombre maximum possible de lignes pouvant être placées de manière à ce que les lignes soient séparées deux à deux par le même angle donné. Zhao a écrit l’article avec un groupe de chercheurs du MIT composé des étudiants de premier cycle Yuan Yao et Shengtong Zhang, du doctorant Jonathan Tidor et du postdoctorant Zilin Jiang. (Yao a récemment commencé comme doctorant en mathématiques au MIT, et Jiang est maintenant membre du corps professoral de l’Arizona State University). Leur article sera publié dans le numéro de janvier 2022 de Annales de mathématiques.

Les mathématiciens résolvent un problème de géométrie ancienne

« La preuve a fonctionné proprement et magnifiquement », explique Yufei Zhao (au centre). « Nous avons eu tellement de plaisir à travailler ensemble sur ce problème. » De gauche à droite : Zilin Jiang, Jonathan Tidor, Zhao, Yuan Yao et Shengtong Zhang. Crédit : Photo : Sandi Miller/MIT Département de mathématiques

Les mathématiques des lignes équiangulaires peuvent être codées en utilisant la théorie des graphes. L’article fournit de nouvelles perspectives dans un domaine des mathématiques connu sous le nom de théorie des graphes spectrales, qui fournit des outils mathématiques pour l’étude des réseaux. La théorie des graphes spectrales a conduit à d’importants algorithmes en informatique tels que l’algorithme PageRank de Google pour son moteur de recherche.

Cette nouvelle compréhension des lignes équiangulaires a des implications potentielles pour le codage et les communications. Les lignes équiangulaires sont des exemples de « codes sphériques », qui sont des outils importants en théorie de l’information, permettant à différentes parties de s’envoyer des messages sur un canal de communication bruyant, comme ceux envoyés entre Nasa et son Mars les routards.

Le problème de l’étude du nombre maximum de droites équiangulaires d’un angle donné a été introduit dans un 1973 papier de PWH Lemmens et JJ Seidel.

« C’est un beau résultat qui apporte une réponse étonnamment précise à un problème bien étudié de géométrie extrême qui a reçu une attention considérable dès les années 60 », déclare université de Princeton professeur de mathématiques Noga Alon.

Le nouveau travail de l’équipe du MIT fournit ce que Zhao appelle “une résolution satisfaisante à ce problème”.

« Il y avait de bonnes idées à l’époque, mais les gens sont restés bloqués pendant près de trois décennies », dit Zhao. Des progrès importants ont été réalisés il y a quelques années par une équipe de chercheurs dont Benny Sudakov, professeur de mathématiques à l’Ecole polytechnique fédérale de Zurich (EPF) de Zurich. Zhao a accueilli la visite de Sudakov au MIT en février 2018 lorsque Sudakov a parlé lors du séminaire de recherche combinatoire de ses travaux sur les lignes équiangulaires.

Jiang a été inspiré pour travailler sur le problème des lignes équiangulaires sur la base des travaux de son ancien directeur de doctorat Bukh Boris à l’Université Carnegie Mellon. Jiang et Zhao ont fait équipe à l’été 2019 et ont été rejoints par Tidor, Yao et Zhang. “Je voulais trouver un bon projet de recherche d’été, et j’ai pensé que c’était un gros problème sur lequel travailler”, explique Zhao. “Je pensais que nous pourrions faire de beaux progrès, mais c’était définitivement au-delà de mes attentes pour résoudre complètement l’ensemble du problème.”

La recherche a été partiellement financée par la Fondation Alfred P. Sloan et la National Science Foundation. Yao et Zhang ont participé à la recherche dans le cadre du programme d’été pour la recherche de premier cycle du département de mathématiques (SPUR), et Tidor était leur mentor étudiant diplômé. Leurs résultats leur avaient valu le prix Hartley Rogers Jr. du département de mathématiques pour le meilleur article SPUR.

« C’est l’un des résultats les plus réussis du programme SPUR », déclare Zhao. “Ce n’est pas tous les jours qu’un problème ouvert de longue date est résolu.”

L’un des outils mathématiques clés utilisés dans la solution est connu sous le nom de théorie des graphes spectrales. La théorie des graphes spectraux nous dit comment utiliser les outils de l’algèbre linéaire pour comprendre les graphes et les réseaux. Le “spectre” d’un graphe est obtenu en transformant un graphe en matrice et en regardant ses valeurs propres.

“C’est comme si vous faisiez briller un faisceau de lumière intense sur un graphique, puis examiniez le spectre de couleurs qui en ressort”, explique Zhao. « Nous avons constaté que le spectre émis ne peut jamais être trop fortement concentré près du sommet. Il s’avère que ce fait fondamental sur les spectres des graphes n’a jamais été observé.

Le travail donne un nouveau théorème dans la théorie des graphes spectraux – qu’un graphe de degré borné doit avoir une deuxième multiplicité de valeurs propres sublinéaire. La preuve nécessite des idées intelligentes reliant le spectre d’un graphique avec le spectre de petits morceaux du graphique.

“La preuve a fonctionné proprement et magnifiquement”, dit Zhao. « Nous avons eu tellement de plaisir à travailler ensemble sur ce problème. »

Référence : « Lignes équiangulaires avec un angle fixe » par Zilin Jiang, Jonathan Tidor, Yuan Yao, Shengtong Zhang et Yufei Zhao, Accepté, Annales de mathématiques.
arXiv : 1907.12466

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